Wyrażenia algebraiczne - Conceptodefinition (2024)

Jakie są wyrażenia algebraiczne

Jak wspomniano wcześniej,Te operacje są niczym więcej niż połączeniem liter, cyfr i znakówktóre są następnie używane w różnych operacjach typu matematycznego.W wyrażeniach algebraicznych litery mają zachowanie liczb, a kiedy biorą ten kurs, są one używane między jedną a dwiema literami.

Niezależnie odwyrażeniePierwszą rzeczą, którą należy uprościć, jest to, że osiąga się to przy użyciu właściwości operacji, które są równoważne właściwościom liczbowym.Aby znaleźć wartość liczbową operacji algebraicznej, list należy zastąpić określoną liczbą.

Wiele można zrobićĆwiczenia na tych wyrażeniachi odbędzie się w tym rozdziale, aby poprawić zrozumienie danego tematu.

Przykłady wyrażeń algebraicznych:

• (X + 5/x + 2) + (4x + 5/x + 2)
  X + 5 + 4x + 5/ x + 2
  5x + 10/x + 2
  5 (x + 2)/x + 2
  5
• (3/x + 1) - (1/x + 2)
  3 (x + 2) - x - 1/(x + 1)*(x + 2)
  2x - 5/x^2 + 3x + 2

Język algebraiczny

Język algebraiczny to taki, który używa symboli i literReprezentować liczby.Jego główną funkcją jest ustanowienie i struktura języka, który pomaga uogólnić różne operacje, które zachodzą w arytmetyce, w których występują tylko liczby elementarne i operacje arytmetyczne (+ -x%).

Język algebraiczny ma swój cel, ustal i zaprojektujjęzykpomaga to uogólnić różne operacje rozwijane w ramach arytmetyki, gdzie używane są tylko liczby i ich podstawowe operacje matematyczne: dodawanie (+), odejmowanie (-),mnożenie(x) i podział (/).

Język algebraiczny charakteryzuje się jego precyzją, ponieważ jest znacznie bardziej konkretny niż język numeryczny.Dzięki temu możesz krótko wyrazić.Przykład: Zestaw wielokrotności 3 wynosi (3, 6, 9, 12 ...) wyrażony 3n, gdzie n = (1, 2, 3, 4 ...).

Pozwala wyrażać nieznane liczby i wykonywać operacje matematycznez nimi.Przykład, suma dwóch liczb wyraża się w następujący sposób: A+B.Przyznaje wyrażenie relacji numerycznych i właściwości o charakterze ogólnym.

Przykład: Własność przemienna jest wyrażona w następujący sposób: a x b = b x a.Podczas pisania tego języka nieznane ilości można manipulować prostymi symbolami pisania, umożliwiając uproszczenie twierdzeń, sformułowanie równań i nierówności oraz badanie ich rozwiązania.

Znaki i symbole algebraiczne

W algebrze używane są zarówno symbole, jak i znakiW teorii ustalonej, które stanowią lub reprezentują równania, serie, macierze itp.Litery są wyrażane lub wywoływane jako zmienne, ponieważ ta sama litera jest używana w innych problemach i jej wartość znajduje różne zmienne.Wśród niektórych klasyfikacji wyrażeń algebraicznych są następujące:

Frakcje algebraiczne

Jest znany jako frakcja algebraicznaTen, który jest reprezentowany przez stosunek dwóch wielomianów, które wykazują zachowanie podobne do frakcji numerycznych.Wmatematyka, można obsługiwać z tymi frakcjami, dokonując mnożenia i podziałów.Dlatego należy wyrazić, że frakcja algebraiczna jest reprezentowana przez stosunek dwóch wyrażeń algebraicznych, w których licznik jest dywidencją i mianownikiem dzielnicy.

Wśród właściwości frakcji algebraicznych można podkreślićŻe jeśli mianownik zostanie podzielony lub mnożony przez tę samą różną ilość zero, ułamek nie zostanie zmieniony.Uproszczenie frakcji algebraicznej polega na przekształceniu jej w frakcję, której nie można już zmniejszyć, konieczne do uwzględnienia wielomianów, które tworzą licznik i mianownik.

Wyrażenia algebraiczneKlasyfikacja znajduje odzwierciedlenie w następujących typach: równoważny, prosty, poprawny, niewłaściwy, złożony z mianownika licznika lub null.Wtedy zobaczymy każdego z nich.

Równowartość

Masz do czynienia z tym aspektemGdy produkt krzyżowy jest taki sam, to znaczy, gdy wynik frakcji jest taki sam.Na przykład z tych dwóch frakcji algebraicznych: 2/5 i 4/10 będą równoważne, jeśli 2*10 = 5*4.

Prosty

Są te, w którychlicznik i mianownikReprezentują wyrażeniaracjonalnyCały.

Własny

SynProste frakcjew którym licznik jest mniejszy niż mianownik.

Nakładanie

SynProste frakcjew którym licznik jest równy lub większy niż mianownik.

Związki

Są one tworzone przez jedną lub więcej frakcji, które mogą znajdować się w licznikach, mianowniku lub obu.

Licznika null mianownik

Występuje, gdy wartość wynosi 0.W przypadku frakcji 0/0 nie będzie to nieokreślone.Podczas korzystania z frakcji algebraicznych do wykonywania operacji matematycznych należy wziąć pod uwagę pewne cechy frakcji numerycznych, na przykład, aby uruchomić minimalną wspólną wielokrotność, gdy mianowniki mają różne cyfry.

Zarówno w podziale, jak i mnożenie, Operacje są przeprowadzane i przeprowadzane jak w przypadku frakcji numerycznych, ponieważ muszą być wcześniej uproszczone tak długo, jak to możliwe.

Monomile

Monomile są szeroko stosowane wyrażenia algebraicznektóre mają stałą zwaną współczynnik i część dosłowną, która jest reprezentowana z literami i mogą być podniesione do różnych mocy.Na przykład monomial 2x² ma 2 jako jego współczynnik, a X² jest dosłowną częścią.

Kilkakrotnie część dosłowna może składać się z mnożenia niewiadomych, na przykład w przypadku 2xy.Każda z tych liter nazywa się nieokreśloną lub zmienną.Monomial jest rodzajem wielomianu z jednym terminem, a ponadto istnieje możliwość bycia przed monomialamipodobny.

Elementy monomiczne

Biorąc pod uwagę 5x^3 monomialny;Wyróżnia się następujące elementy:

• Współczynnik: 5
• Dosłowna część: x^3

Produkt monomialny jest współczynnikiem, który odnosi się do liczby, która się pojawia, mnożąca część dosłowną.Zwykle jest umieszczony na początku.Jeśli produkt monomialny ma wartość 1, nie jest napisany i nigdy nie może byćzero, ponieważ pełne wyrażenie miałoby wartość zerową.Jeśli jest coś, co należy wiedzieć o ćwiczeniach monomialnych, to: to:

• Jeśli monomicznybrakuje współczynnika, jest równy jednemu.
• Jeśli jakikolwiek termin nie ma wykładnika, jest on równy jeden.
• Jeśli jakakolwiek dosłowna część nie jest obecna, ale jest to konieczne, jest uważane za zero wykładnika.
• Jeśli żadne z nich nie zgadza się, to nie jest nie do czynienia z ćwiczeniami monomialnymi, można nawet powiedzieć, że istnieje ta sama zasada z ćwiczeniami między wielomianami i monomialami.

Suma i odejmowanie monomialnych

Aby móc dokonać sum między dwoma liniowymi monomialami,Konieczne jest utrzymanie części liniowej i dodanie współczynników.W odjęciu dwóch liniowych monomialnych należy go utrzymywać, jak w sumach, część liniowa, aby móc odjąć współczynniki, wówczas współczynniki są mnożone, a wykładniki dodawane są z tymi samymi zasadami.

Mnożenie monomianów

To monomianówktórego współczynnik jest produktem lub wynikiem współczynników, które mają dosłowną część, która została uzyskana poprzez pomnożenie mocy, które mają dokładnie tę samą bazę.

Dział monomiczny

To nic innego jak inny monomicznyktórego współczynnik jest stosunkiem uzyskanych współczynników, które mają również dosłowną część podziałów między mocami, które mają dokładnie tę samą bazę.

Wielomiany

Kiedy mówimy o wielomianach, odniesienia do działania algebraicznego sumy, odejmowania i uporządkowanych mnożeń wykonanych ze zmiennych, stałych i wykładników.W algebrze wielomian może mieć więcej niż jedną zmienną (x, y, z), stałe (liczby całkowite lub frakcje) i wykładniki (które mogą być tylko dodatnimi liczbami całkowitymi).

Wielomiany są tworzone według terminów skończonych, każdy termin jest wyrażeniem zawierającym jeden lub więcej z trzech elementów, z którymi są one wytwarzane: zmienne, stałe lub wykładniki.Na przykład: 9, 9x, 9xy to warunki.Innym sposobem zidentyfikowania terminów jest to, że są one oddzielone sumami i odejmowaniem.

Aby rozwiązać, uprościć, zniknąć wielomianami, musisz dołączyć do warunków z tymi samymi zmiennymi, które na przykład terminy z x, terminy z „y” i warunki, które nie mają zmiennych.Ponadto ważne jest, aby obserwować znak przed terminem, który określi, czy doda, odejmuje lub mnoży.Warunki z tymi samymi zmiennymi są zgrupowane, dodawanie lub odejmowanie.

Rodzaje wielomianów

Liczba terminów, które ma wielomian, wskazuje, jaki jest rodzaj wielomianu,Jasnym przykładem tego jest jedno z ćwiczeń wielomianowych (8xy).Istnieje również wielomian dwóch terminów, który nazywa się dwumianową i jest identyfikowany w następującym przykładzie: 8xy - 2y.

Wreszcie wielomian trzech wyrazów, które są znane jako trójmiany i są identyfikowane przez jedno z ćwiczeń wielomianowych 8xy – 2y + 4.Trinomile są algebraicznym typem ekspresjiutworzone według suma lub różnicy trzech terminów lub monomialnych (podobne monomile).

Ważne jest również, aby porozmawiać o stopniu wielomianu, ponieważ jest to jedna zmienna jest największym wykładnikiem.Stopień wielomianu o więcej niż jednej zmiennej jest określany przez termin z największym wykładnikiem.

Dodanie i odejmowanie wielomianów

Suma wielomianów implikuje łączenie terminów.Podobne terminy odnoszą się do monomialnych, które mają tę samą zmienną lub zmienne podniesione do tej samej mocy.

Istnieją różne sposoby wykonywania obliczeń z wielomianami, w tym suma wielomianów, którą można wykonać na dwa różne sposoby: poziomo i pionowo.

• Suma wielomianów poziomo: jest używany do zrobieniaOperacje poziomo, warte nadmiarowości, ale najpierw wielomian jest pisany, a następnie w tej samej linii.Następnie drugi wielomian, który zostanie dodany lub odejmowany, a na koniec podobne warunki są zgrupowane.
• Suma pionowych wielomianów: Osiąga się to, pisząc pierwszy wielomian w uporządkowany sposób.Jeśli jest to niekompletne, ważne jest, aby pozostawić luki wolnych brakujących warunków.Następnie następny wielomian jest napisany tuż poniżej poprzedniego, w ten sposób termin podobny do powyższego będzie poniżej.Wreszcie każda kolumna jest dodawana.

Ważne jest, aby dodać to, aby dodać dwa wielomiany, należy dodać współczynniki warunków tego samego stopnia.Wynik dodania dwóch warunków tego samego stopnia to inny okres tego samego stopnia.Jeśli brakuje jakiegokolwiek terminu jednego z stopni, można go ukończyć z 0. i ogólnie są uporządkowane od większego do mniejszego stopnia.

Jak wspomniano powyżej, aby wykonać sumę dwóch wielomianów, trzeba dodać warunki stopnia.Właściwości tej operacji składają się z:

• Właściwości asocjacyjne: w którym rozstrzygana jest suma dwóch wielomianów poprzez dodanie współczynników towarzyszących X, które wznoszą się do tej samej mocy.
• Własność przemienna: który zmienia kolejność sumę i nie udaje się wydedukować wyniku.Elementy neutralne, które mają wszystkie swoje współczynniki równe 0. Gdy wielomian jest dodawany do elementu neutralnego, wynik jest równy pierwszemu.
• Przeciwna własność: utworzony przez wielomian, który ma wszystkie współczynniki odwrotne do współczynników agregatowego wielomianu.Zatem podczas wykonywania operacji SUM wynikiem jest wielomian zerowy.

Dotyczące odejmowania wielomianów, (Operacje wielomianowe) Konieczne jest grupowanie monomianów według posiadanych cech i rozpoczęcie od uproszczenia tych, którzy byli podobni.Operacje wielomianowe są przeprowadzane przez dodanie przeciwnego odejmowania do minuend.

Kolejnym skutecznym sposobem kontynuowania wielomianów odejmowania jest napisanie przeciwnego do każdego wielomianu poniżej drugiego.Zatem podobne monomile pozostają w kolumnach i przystępują do ich dodawania.Nie ma znaczenia, która technika jest przeprowadzanaOstatecznie wynik zawsze będzie taki sam, jeśli zostanie wykonany poprawnie.

Mnożenie wielomianów

Mnożenie monomianów lub ćwiczeń między wielomianami i monomialami,Jest to operacja przeprowadzana w celu znalezienia powstałego produktu, między monomialnym (wyrażenie algebraiczne oparte na mnożenie liczby a literą podniesioną do całego i pozytywnego wykładnika), a inne wyrażenie, jeśli jest to niezależny termin, inny, inny, inny, inny monomiczny lub nawet wielomianowy (skończona suma niezależnych monomianów i terminów).

Jednak, podobnie jak w przypadku prawie wszystkich operacji matematycznych, mnożenie wielomianów ma również szereg kroków, które należy wykonać przy rozwiązywaniu proponowanej operacji, które można podsumować w następujących procedurach:

Pierwszą rzeczą do zrobienia jest pomnożenie monomianu przez jego wyrażenie(Pomnóż oznaki każdego z jego terminów).Następnie mnożone są wartości współczynników, a podczas znajdowania wartości w tej operacji dodaje się dosłowność monomianów znalezionych na warunkach.Następnie każdy wynik jest odnotowany w kolejności alfabetycznej i, na koniec dodaje się każdy wykładnik, który znajduje się w literałach podstawy.

Podział wielomianowy

Znany również jako metoda Ruffini.Pozwala nam podzielić wielomian między dwumianowym, a także pozwala zlokalizować korzenie wielomianu w celu uwzględnienia go w dwumianach.Innymi słowy,Ta technika umożliwia podzielenie wielomianu algebraicznegostopnia N, w dwumianowym algebraicznym, a następnie w innym wielomianowym algebraicznym stopniu N-1.I aby to było możliwe, aby poznać lub znać przynajmniej jeden z korzeni unikalnego wielomianu, tak że separacja jest dokładna.

Jest to skuteczna technika dzielania wielomianu przez dwumianową formy x - r.Reguła Ruffini jest szczególnym przypadkiem podziału syntetycznego, gdy dzielnik jest czynnikiem liniowym.Metoda Ruffiniego została opisana przez włoskiego matematyka, profesora i lekarzaPaolo RuffiniW roku 1804, który oprócz wynalezienia słynnej metody zwanej regułą Ruffini, która pomaga znaleźć współczynniki wyniku fragmentacji wielomianu przez dwumianową;Odkrył także i sformułował tę technikę przy przybliżonym obliczeniu korzeni równań.

Jak zwykle,Jeśli chodzi o operację algebraiczną, Reguła Ruffini implikuje szereg kroków, które należy spełnić, aby osiągnąć pożądany wynik, w tym przypadku: Znajdź iloraz i resztę związane z podziałem dowolnego rodzaju wielomianu i dwumianowego X + R.

Po pierwsze, w momencie rozpoczęcia operacji wyrażenia należy przejrzeć w celu zweryfikowania lub ustalenia, czy są one naprawdę traktowane jako wielomiany i dwumianowe, które reagują na oczekiwaną formę metodą reguły Ruffini.

Po zweryfikowaniu tych kroków, Uporządkowany jest wielomian (w kolejności malejącej).Po tym etapie współczynniki terminów wielomianowych (do niezależnych) są brane pod uwagę poprzez umieszczenie ich w rzędzie od lewej do prawej.Niektóre przestrzenie pozostawiono dla brakujących terminów (tylko w przypadku niepełnego wielomianu).Znak kuchni po lewej stronie rzędu jest umieszczony, który składa się ze współczynników wielomianu dywidendy.

Po lewej części kuchni, niezależny termin dwumianowy, który jest teraz dzielnikiem, a jego znak jest odwrotny.Niezależne jest mnożone przez pierwszy współczynnik wielomianu, rejestrując w ten sposób w drugim rzędzie pod pierwszym.Następnie odejmuje się drugi współczynnik i produkt monomicznego niezależnego terminu przez pierwszy współczynnik.

Niezależny okres dwumianowy jest mnożony przez wynikpoprzedniego odejmowania.Ale ponadto jest umieszczony w drugim rzędzie, który odpowiada czwartemu współczynnikowi.Operacja jest powtarzana do wszystkich warunków.Trzeci rząd, który został uzyskany na podstawie tych mnożeń, jest traktowany jako iloraz, z wyjątkiem jego ostatniego terminu, który zostanie uznany za resztę podziału.

Wynik wyraża się, towarzysząc każdemu współczynnikowi zmiennej i stopień, który jej odpowiada, zaczynając wyrażać je niższym stopniem niż pierwotnie.

• Twierdzenie ponadto: Jest to praktyczna metodaSłuży do podziału wielomianowego p (x) na drugim, którego kształt jest xa;w którym uzyskuje się tylko wartość pozostałej.Aby zastosować tę zasadę, wykonane są następujące kroki.Dywidenda wielomianowa jest pisana bez wypełniania lub zamawiania, wówczas zmienna x dywidendy jest zastąpiona przeciwną wartością niezależnego okresu dzielnika.I wreszcie operacje są rozwiązywane połączone.

  Twierdzenie reszty to metoda, za pomocą której możemy uzyskać pozostałość podziału algebraicznegoAle w którym nie jest konieczne dokonywanie żadnego podziału.

To pozwala nam znaleźć resztę podziału wielomianup (x) między inną formą x-a, na przykład. Z tego twierdzenia wynika, że ​​wielomian p (x) jest podzielny przez x-a tylko wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu, tylko wtedy i tylko wtedy, gdy p (a) = 0. Jeśli C (x) jest ilorazem, a R (x ) jest resztą dzielenia dowolnego wielomianu p (x) przez dwumian, który byłby (x-a) wartością liczbową p (x), dla x = a jest równa reszcie jego dzielenia przez x-a.

Wtedy powiemy:NP (a) = c (a) • (a - a) + r (a) = r (a).Ogólnie rzecz biorąc, aby uzyskać resztę podziału między X-A, wygodniej jest zastosować zasadę Ruffini niż zastąpić X.Dlatego twierdzenie reszty jest najbardziej odpowiednią metodą rozwiązania problemów.

• Metoda Ruffini: Metoda lub reguła Ruffiniego jest metodą, która pozwala nam podzielić wielomian między dwumianowym, a także pozwala zlokalizować korzenie wielomianu do czynnika w dwumianach.Innymi słowy, technika ta umożliwia podzielenie lub rozkładanie algebraicznego wielomianu stopnia N, w dwumianowym algebraicznym, a następnie w innym wielomianowym algebraicznym stopniu N-1.I aby to było możliwe, aby poznać lub znać przynajmniej jeden z korzeni unikalnego wielomianu, tak że separacja jest dokładna.

W świecie matematycznym, Reguła Ruffini jest skuteczną techniką dzielenia wielomianu przez dwumianowy formy X - R.Reguła Ruffini jest szczególnym przypadkiem podziału syntetycznego, gdy dzielnik jest czynnikiem liniowym.

Metoda Ruffiniego została opisana przez włoskiego matematyka, profesora i doktora Paolo RuffiniW roku 1804, który oprócz wynalezienia słynnej metody zwanej regułą Ruffini, która pomaga znaleźć współczynniki wyniku fragmentacji wielomianu przez dwumianową;Odkrył także i sformułował tę technikę przy przybliżonym obliczeniu korzeni równań.

• Korzenie wielomianowe: Korzenie wielomianu to pewne liczby, które wytwarzają wielomian zerowy Valga.Możemy również powiedzieć, że pełne korzenie wielomianu całych współczynników będą dzielą niezależnego terminu.Kiedy rozwiązujemy wielomian równy zero, uzyskujemy korzenie wielomianu jako rozwiązania.Jako właściwości korzeni i czynników wielomianów możemy powiedzieć, że zer lub korzenie wielomianu są przez dzielniki niezależnego terminu należące do wielomianu.

Następnie, na przykład dla każdego korzenia typu x = A odpowiada dwumianowi typu (x-a).Możliwe jest wyrażenie wielomianu w czynnikach, jeśli wyrażamy to jako produktlub wszystkich dwumianów typu (x-a), które odpowiadają korzeniom, x = a, co wynika.Należy wziąć pod uwagę, że suma wykładników dwumianowych jest równa stopniu wielomianu, należy również wziąć pod uwagę, że każdy wielomian, który nie ma niezależnego terminu, przyznaje się jako root x = 0, w innym sposób, przyznam się jako czynnik X.

Nazwiemy „kuzynem” lub „nieredukowalnym” wielomianem, gdy nie ma możliwości rozkładu na czynniki.

Aby pogłębić tematMusimy jasno określić podstawowe twierdzenie algebry, które wyraża, że ​​wystarczy, aby wielomian w niezmiennych współczynnikach zmiennych i złożonych ma tyle korzeni, jak jego stopień, ponieważ korzenie mają swoje multipalitety.Potwierdzono, że każde równanie algebraiczne stopnia N ma złożone rozwiązania.Wielomian klasy N ma maksimum prawdziwych korzeni.

Przykłady i ćwiczenia

W tej sekcji niektóre zostaną umieszczoneĆwiczenia wyrażeń algebraicznychRozwiązane z każdego z tematów omówionych w tym poście.

Ćwiczenia wyrażeń algebraicznych:

• X^2 - 9/2x + 6
  (X + 3) * (x - 3)/2 * (x + 3)
  X - 3/2
• X^2 + 2X + 1/X^2 – 1
  (X + 1)^2/(x + 1) * (x - 1)
  X + 1/x - 1

Suma wielomianów

• 2x+3x+5x = (2+3+5) x = 10 x
• P (x) = 2 × 2+5x-6
  Q (x) = 3 × 2-6x+3
  P (x)+Q (x) = (2 × 2+5x-6)+(3 × 2-6x+3) = (2 × 2+3 × 2)+(5x-6x)+(-6+3) = 5 × 2-x-3

Odejmowanie wielomianowe

P (x) = 2 × 2+5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x+3
P (x) -q (x) = (2 × 2+5x-6)-(3 × 2-6x+3) = (2 × 2+5x-6)+(-3 × 2+6x-3)= (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9

Podział wielomianowy

• 8 A/2 A = (8/2). (A/A) = 4
• 15 tj ./a = (15/p) (a)/a = p
• 12 bxy/-2 bxy = (12/-2) (B.X.Y)/(bxy.) = -6
• -6 v2.c.x/-3vc = (-6/-3) (v2.c. x)/(v. c) = 2 v

Wyrażenia algebraiczne (kwadratowy dwumian)

(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9

Twierdzenie o spoczynku

(x4 - 3 × 2 + 2) :( x - 3)
R = p (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56

Mnożenie monomianów

axn · bxm = (a · b) xn + m
(5x²y³z) · (2y²z²) = (2 · 5) X²Y3+2Z1+2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y

Dział monomiczny

8 A/2 A = (8/2). (A/A) = 4
15 tj ./a = (15/p) (a)/a = p
12 bxy/-2 bxy = (12/-2) (B.X.Y)/(bxy.) = -6
-6 v2.C.x/-3vc = (-6/-3) (v2 .c. x)/(v. c) = 2 v

Suma i odejmowanie monomialnych

Ćwiczenie: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Rozwiązanie: 3 × 3 -4x + 5-2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 -4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 -4x + 3