Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos que cumplen con la siguiente propiedad: los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro ángulo. El teorema fundamental de los ángulos opuestos por el vértice establece que dos ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. Sin embargo, es importante destacar que aunque dos ángulos tengan la misma medida, no significa que sean iguales. Es similar a decir que dos niños que tienen la misma altura son iguales. Un ángulo se define como la figura geométrica compuesta por dos semirrectas con el mismo origen.
En la figura 1 se muestra el ángulo fOg (azul) compuesto por la semirrecta [Of) y la semirrecta [Og) de origen común O. También se muestra el ángulo hOi (rojo) compuesto por la semirrecta [Oi) y la semirrecta [Oh) ambas con origen O. Es importante resaltar que los ángulos azul y rojo de la figura 1 son opuestos por el vértice porque la semirrecta [Of) del ángulo azul es la prolongación de la semirrecta [Oh) del ángulo rojo, y la semirrecta [Og) del ángulo azul es la prolongación de la semirrecta [Oi) del ángulo rojo.
Conceptos importantes sobre ángulos
Lados y vértices de un ángulo
Un ángulo está compuesto por dos semirrectas con un origen común. En la figura 2 se muestra el ángulo POQ formado por las semirrectas [OP) y [OQ) con origen común O. Las semirrectas [OP) y [OQ) son los lados del ángulo, mientras que el punto O se denomina vértice del ángulo.
Sector angular
Un ángulo divide al plano que lo contiene en dos sectores angulares: el sector angular convexo y el sector angular cóncavo. La figura 2 muestra el ángulo POQ y sus dos sectores angulares. El sector angular convexo es el que tiene forma puntiaguda, mientras que el sector angular cóncavo es el sector angular del plano que le falta el sector convexo.
Ángulos formados por dos rectas que se cortan
Cuando dos rectas de un plano se intersectan, se forman cuatro ángulos y se dividen al plano en cuatro sectores angulares. La figura 3 muestra las dos rectas (PQ) y (RS) que se intersectan en O. Se pueden observar cuatro ángulos: SOQ, QOR, ROP y POS. Los ángulos SOQ y ROP son opuestos por el vértice, mientras que los ángulos SOQ y QOR, QOR y ROP, y ROP y POS son ángulos adyacentes entre sí.
Rectas perpendiculares y ángulo recto
Dos rectas secantes son perpendiculares si determinan cuatro sectores angulares de igual medida. Si cada uno de los cuatro sectores es simétrico con el sector angular adyacente, entonces tienen la misma medida. Cada uno de los ángulos que determinan las dos rectas perpendiculares se denomina ángulo recto. Todos los ángulos rectos tienen la misma medida, que es la cuarta parte del ángulo completo, es decir, 90º.
Semirrectas sobre la misma recta y ángulo plano
Dada una recta y un punto de ella, se definen dos semirrectas que forman dos ángulos planos. En la figura 3 se muestra la recta (RS) y el punto O que pertenece a (RS). El ángulo SOR y el ángulo ROS son ángulos planos. Todos los ángulos planos tienen la misma medida.
Ángulo nulo y ángulo completo
Una sola semirrecta define dos ángulos: el ángulo nulo y el ángulo completo. El ángulo nulo es el del sector angular convexo y tiene una medida de 0º. El ángulo completo es el del sector angular cóncavo y tiene una medida de 360º.
Medida de un ángulo
Existen dos sistemas numéricos comunes para medir ángulos. Uno de ellos es el sistema sexagesimal, basado en el número 60. En este sistema, el ángulo nulo mide 0º, el ángulo completo mide 360º, el ángulo plano mide 180º y el ángulo recto mide 90º. El otro sistema es el sistema radián, basado en el número π (pi).
Teorema de los ángulos opuestos por el vértice
El teorema establece que si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces tienen la misma medida. La demostración se basa en la suma de los ángulos formados por las semirrectas que componen el ángulo plano. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, la suma de sus medidas es igual a 180º. Por lo tanto, los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.
Ejercicio resuelto
En referencia a la figura 4, supongamos que β = 2 α. Debemos encontrar la medida de los ángulos SOQ, QOR y ROP en grados sexagesimales.
La suma del ángulo SOQ más el QOR forma el ángulo plano SOR, por lo que tenemos la ecuación α + β = 180º. Sustituyendo el valor de β, que es 2 α, obtenemos la ecuación α + 2 α = 180º. Resolviendo esta ecuación, encontramos que α = 60º. Por lo tanto, la medida de SOQ es α = 60º. La medida de QOR es β = 2 α = 2 * 60º = 120º. Como ROP es opuesto por el vértice a SOQ, tienen la misma medida, por lo que la medida de ROP es γ = α = 60º.
Referencias
- Baldor, J. A. 1973. Geometría plana y del espacio. Cultural centroamericana.
- Leyes y fórmulas matemáticas. Sistemas de medida de ángulos. Recuperado de: ingemecanica.com.
- Wikipedia. Ángulos opuestos por el vértice. Recuperado de: es.wikipedia.com.
- Wikipedia. Transportador. Recuperado de: es.wikipedia.com.
- Zapata F. Goniómetro: historia, partes, funcionamiento. Recuperado de: lifeder.com.
Espero que este artículo haya sido útil y completo en cuanto a los conceptos relacionados con los ángulos opuestos por el vértice. Si tienes alguna pregunta adicional o necesitas más información, no dudes en hacerla.
